構造力学の問題解説

1級建築士試験 構造力学 単純梁

こんにちは、ワンワンです。

これから少しずつ構造力学の問題について解説していきたいと考えています。今回単純梁の問題について解き方を解説していきます。

この単純梁は構造力学で基本となる問題で、これを解けなければこの先の問題は全てつまづいてきます。しっかりと解き方を理解しましょう。

上記の図のように単純梁に集中荷重の力Pが一つかかった時に、曲げモーメント図をどうのようにしたら書けるのかというところまで解説していきます。

ワンワン
ワンワン
単純梁は構造力学の基本となり、解き方をマスターすることでその他の問題も解けるようになります!

単純梁・集中荷重・支点とは

単純梁とは両端の支持できるものに梁を置いたものです。支持できるものが支点と言います。この支点はピン支点ローラー支点というもので支えられています。

荷重とは外部からかかる力のことで、集中荷重は1点に外部からかかる力のことです。

支点反力とは

まず反力は言葉の通り反対の力です。何に対してかというと外力に対しての反対の力となります。ここでは外力が集中荷重Pとなり、それに対して反対の力が反力となります。

支点反力は支点に生じる反力です。支点はピン支点とローラー支点の2つがあります。ここに反力が生じます。

支点には固定支点、ピン支点、ローラー支点の3つがあります。ここではピン支点とローラー支点について説明していきます。

ピン支点水平方向(横方向)鉛直方向(縦方向)反力ができる支点となります。ローラー支点鉛直方向(縦方向)反力のみできる支点となります。

水平方向の反力は水平方向の外力が無いので0になります。鉛直方向の反力は集中荷重Pが下方向にあるので、上方向の反力があると想定できます。

まずはこのように支点反力を仮定して絵に書き込みましょう。そして鉛直方向の反力をVA、VBと名付けます。

ワンワン
ワンワン
ミスをおこさないように、仮定した支点反力の矢印は図に書き込もう!

釣り合い式を作ろう

釣り合い式とは簡単にいうと、外力と反力は等しいですよという式の事です。

これはどういう事かというと、水平方向の外力=水平方向の反力鉛直方向の外力=鉛直方向の反力外力による曲げモーメント=反力による曲げモーメントと3つの式を作りましょうという事です。

Pという外力が梁にかかった時に、梁が壊れないのは外力と反力が釣り合っているからと言えます。

そして曲げモーメントとは物体を回転させようとする力がかかり梁を曲げようとする力です。ここではA点を中心に考えると外力Pと反力VBが梁を曲げようとする力が作用しています。

曲げモーメントは力×距離となります。曲げモーメントについては後日に解説します。今はA点を中心に考えると外力Pと反力VBが梁を回転させる力だなと感覚的に分かってもらえたらと思います。

ここで釣り合い式を作ります。

鉛直方向 ΣY=0 外力 P = 鉛直反力 VA+VB

曲げモーメント ΣMA=0(A点を中心)

外力 P × 距離 L/2 = 鉛直反力 VB × 距離 L

まとめると

①式 ΣY=0 P=VA+VB

②式 ΣM=0 P×L/2=VB×L

ここで②式の曲げモーメントの釣り合い式から反力VBがでます。

VB=P/2

そして①式のΣYの釣り合い式にVB=P/2を代入するとVAがでます。

P=VA+P/2  VA=P/2

水平方向 ΣX=0 水平方向の外力は0なので水平反力も0となる。

VA=P/2、VB=P/2と支点反力がでました。このように外力=反力の釣り合い式を作ると、支点反力がでます。必ず釣り合い式をマスターしましょう。

曲げモーメント図を書こう

曲げモーメントの計算

支点反力を出せたら、次は曲げモーメント図を書いていきます。

曲げモーメント図を書く前に確認事項があります。この梁はピン支点とローラー支点で支持されています。ここで大事なのが、ピン支点とローラー支点は回転を拘束できないので、曲げモーメントが0になります。

支点Aと支点Bは曲げモーメントが0だとわかりました。次に集中荷重Pの位置に注目しましょう。

集中荷重Pの位置、C点が一番大きな力がかかっていると想定できます。つまり一番曲げモーメントが大きい位置と言えますね。

では集中荷重Pの位置で曲げモーメントをだします。まずは集中荷重Pの位置から片側だけを取り出して考えます。この時はA点、B点どちらでも良いです。

C点に生じる部材応力 M(外力Pが作用する時に部材に生じる力)をMCとして時計回り(左回り)として仮定します。

C点を中心にして外力、支点反力で生じるC点の時計回りの曲げモーメントがMCと釣り合う式を作って計算します。

ワンワン
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曲げモーメントの計算は力×距離 

外力、支点反力で生じるC点の曲げモーメント

反力VA P/2 × 距離 L/2 = PL/4

(外力PはC点との距離が0なので、曲げモーメントも0となります。)

ΣMC=0 外力、支点反力で生じるC点の曲げモーメント+MC=0

PL/4 + MC = 0       MC= ーPL/4

ワンワン
ワンワン
曲げモーメントは時計回り(左回り)をプラス +、反時計回り(右回り)ーとします。 

ちなみに逆側のB点の方を取り出しても答えは同じになります。

曲げモーメント図を書く

計算結果からC点の曲げモーメントはPL/4、A点、B点の曲げモーメントが0とわかりました。

次に曲げモーメント図を書くためのルールがあります。曲げモーメント図は引張側に書きます。

ではその引張側とはどういう事かということを説明します。

 

 

 

右図が集中荷重Pがかかった時の部材が変形する絵です。下向きの力が作用しているので、下方向に梁がたわみます。

そして右側の絵はその梁が変形した時のC点あたりを取り出した絵となります。この時、梁は上側が圧縮力、下側が引張力が生じます。

つまり梁の下側に曲げモーメント図を書きます。他の言い方では凸側方向に書くとあります。下側に梁が変形して、下側に凸となるので下側に曲げモーメント図を書くとなります。

曲げモーメント図は下図になります。

「単純梁の解き方」まとめ

  1.  まずは支点反力を仮定する。
  2.  釣り合い式を作って、支点反力を計算する。
  3.  集中荷重点を基点に片側だけ取り出す。
  4.  取り出した片側で曲げモーメントの釣り合い式を解き、集中荷重のC点で曲げモーメントを計算する。
  5.  梁の変形を考えて、どちらに引張側になるかを確認する。そして引張側に曲げモーメント図を書く。

この問題は1級建築士の構造力学問題で基本となる解き方です。その他にせん断力図、軸力図がありますが、1級建築士の試験では出ないので、省いています。

釣り合い式を作って支点反力を算出、曲げモーメント図を書けるようになりましょう!

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