構造力学の問題解説

1級建築士試験 構造力学 静定ラーメン

こんにちは、ワンワンです。

静定梁、片持ち梁の問題はできるけど、静定ラーメンの問題は難しいと感じる方もいるかもしれませんが、静定梁、片持ち梁と同じ解き方で大丈夫です。

この記事では、

1級建築士試験レベルの静定ラーメン問題の曲げモーメント図

について、1級建築士を1発合格したワンワンが解説していきます。

ワンワン
ワンワン
静定ラーメンだからといって、難しいというわけではありません。基本をきっちりと押さえれば解けます。

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静定ラーメンの問題

上図のようなラーメン構造に二つの荷重が作用しています。その時の曲げモーメント図を書きましょうという問題です。

1級建築士試験の問題では、曲げモーメント図はどれが正しいかと選択する問題となります。選択基準としてどこを見るべきかについても書いていきます。

静定ラーメンとは、支点にピン支点とローラー支点があり柱と梁が門型に構成されている構造です。

釣り合い式で支点反力を算出

まずは釣り合い式を作りましょう。静定ラーメンだからといって、特別な解き方をするわけではありません。単純梁と同じ解き方です。

支点反力を仮定

A点のピン支点にHA(水平方向の力)、VA(鉛直方向の力)を仮定しましょう。E点のローラー支点にはVE(鉛直方向の力)を仮定しましょう。

そして、仮定した支点反力を図に書き込むと下図のようになります。

ワンワン
ワンワン
支点反力を仮定して図に書き込むことで、計算ミスを防げますよ。

そこから釣り合い式を作っていきます。

水平方向については、水平荷重のPがB点にかかっています。そして支点反力のHAがあります。この関係で釣り合うように考えるとHA=P(左矢印)になることは明確です。

式を作ると

ΣX=0   HA = P

次に鉛直方向についてです。こちらは鉛直荷重2Pと支点反力VA、VEがあります。

 

ΣY=0  VA + VE = 2P

となります。これだけでは解けませんので、次はモーメントについてです。この時に回転の中心を支点A、Eのどちらかにしますが、どちらに置くべきか分かりますか。

支点A点に置きます。理由としては、A点の支点反力は2つあるからです。このA点を回転の中心とした場合、距離は0になるのでA点の支点反力の2つのモーメントは0となります。

ラーメン構造のモーメント計算の回転の中心は、支点反力が多い支点を中心に置きます。(つまりピン支点に)

ΣMA = 0  P × 2L + 2P × 2L = 4L × VE

2P + 4P = 4VE    VE = 3/2 P

ここで大事なのは、モーメント M = 力 ×  キョリ です。そしてこのキョリは力の作用線(力の方向に引く線)と回転の中心 A点との垂直のキョリとなります。下図を参照してください。

VE = 3/2 Pと出たので、VA + VE = 2Pに代入しましょう。

VA + 3/2 P = 2P     VA = P/2

支点反力を書き込んだ図が下図になります。

静定ラーメンの曲げモーメント図

支点反力が計算できたので、次は曲げモーメント図を書いていきます。

ピン支点、ローラー支点の曲げモーメントは?

最初の一番大切なことですが、ピン支点(A点)とローラー支点(E点)の曲げモーメントはいくつか分かりますか?答えは0です。

ピン支点とローラー支点の曲げモーメントは0になるということはしっかりと覚えましょう。

柱DE材(ローラー支点)の曲げモーメントは?

次にローラー支点がついた柱DE材の曲げモーメントはいくつか分かるでしょうか。

こちらも曲げモーメントは0になります。

理由としては、ローラー支点です。このローラー支点は鉛直方向のみ拘束できる支点となっています。だから鉛直方向のみ支点反力があります。

柱DE材だけを取り出してみましょう。

D点を中心として、曲げモーメントを考えてみましょう。E点の支点反力の作用線がD点を通るので、キョリは0になりますね。すると曲げモーメントは力×キョリなので、0になることがわかりますね。

この鉛直方向の支点反力って、柱DE材の軸方向の力だけですね。

ローラ支点のある柱部材の曲げモーメントは0になると覚えましょう。

柱AB材(ピン支点)の曲げモーメントは?

柱AB材の曲げモーメントは0になりません。そうすると曲げモーメントはいくつになるでしょうか。

柱AB材だけを取り出して考えてみましょう。下図のようになります。

そしてB点の曲げモーメントを計算します。B点の曲げモーメントはピン支点Aの水平反力Pにキョリ 2Lをかけた値になりますね。

MB= P × 2L = 2PL

そして次に柱の変形を考えてみましょう。B点に反時計回りの曲げモーメントが作用すると考えると、柱の内側(右側)が引張側(凸側)になります。

柱の曲げモーメントは、ピン支点の水平反力×柱長さと言えますね。

梁BD材の曲げモーメントは?

まず梁BD材の柱が取り付いているB点とD点の曲げモーメントはいくらになるか分かりますか?

これは柱部材で出した曲げモーメントと同じになります。柱と梁は剛接合で繋がっています。ここで重要なのは柱の曲げモーメントと梁の曲げモーメントは釣り合うということです。

釣り合うということは、柱の曲げモーメントの値は同じで、回転方向が逆になると釣り合いますね。

だからB点の曲げモーメントは2PL(下側引張)、D点の曲げモーメントは0になります。

あとは外力が作用するC点ですね。

こちらはC点で切って、ローラー支点E側を取り出して考えましょう。

このC点で釣り合い式を作ります。C点の曲げモーメントをMC(時計回り)と仮定します。

ΣMC=0

MC – 3/2P(VB) × 2L = 0

MC = 3PL

C点の曲げモーメントは、3PLと分かりました。梁の引張側は集中荷重が下向きに作用しているので、梁の下側が引張側(凸側)になるのがわかりますね。

あとは繋げていくだけで、曲げモーメント図ができますね。

補足説明

ここでは梁BD材のC点からローラー支点側を取り出して曲げモーメントを出しましたが、逆側のピン支点側を取り出してC点の曲げモーメントを計算するとどうなるでしょうか。

結果は、同じ値の3PL(下側引張)になります。確認していきましょう。

C点で釣り合い式を作ります。C点の曲げモーメントをMC(時計回り)と仮定します。

ΣMC=0

MC +P × 2L + P/2(VA) × 2L = 0

MC = -3PL

マイナス符号なので、MCは時計回りの逆の反時計回り(下側引張)となります。

つまり切って取り出したところは、柱と梁の接合部と同様に釣り合うってことがわかりますね。

切って取り出す時は、計算が簡単な方を取り出しましょう。つまりローラー支点側を取り出せば、計算が簡単ですね。

まとめ

静定ラーメン問題の解き方

①釣り合い式を立てて、支点反力を計算

曲げモーメントのキョリは回転の中心から力の作用線までのキョリ

②柱材の曲げモーメントの算出

ローラー支点側の柱の曲げモーメントは0

ピン支点側の柱は、取り出して釣り合い式を解く

③梁材の曲げモーメントの算出

柱に取り付く側の梁の曲げモーメントは、柱の曲げモーメントと釣り合う。

外力が作用している所からローラ支点側を取り出して、釣り合い式を解く

④曲げモーメントを繋いで、曲げモーメント図の完成

ワンワン
ワンワン
静定ラーメンになると難しいように感じるかもしれませんが、1つ1つ手順通りに解く練習をすれば、必ず点数が取れるようになります。 

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