構造力学の問題解説

1級建築士試験 構造力学 断面係数・応力度の問題

こんにちは、ワンワンです。

今回は断面係数の問題をやっていきます。

断面係数の問題は単独では出ません。片持ち柱やラーメンフレームの応力を算出して、断面応力度を解く複合問題で断面係数を使います。

複合問題ということで、難しいと感じるかもしれませんが一つ一つ見ていくと、今までやってきた問題の組み合わせとなります。

この記事では、

  • 断面係数、応力度を使った複合問題

について1級建築士試験に出るレベルの問題を解説していきます。

応力度とは?

応力度は「単位面積当たりの力」を言います。

まずは下図を見てください。

柱に圧縮の力が作用しています。その状態の柱断面を見てみると断面一面に力が作用しているのがわかります。この断面一面に作用している力の面積当りの力を軸応力度と言います。

軸応力度は、引張と圧縮があります。圧縮応力度と引張応力度は同じ式で計算できます。

圧縮・引張応力度 σ = N/A     N:軸力(圧縮、引張)  A:断面積

次は曲げ応力度の説明です。

まずは下図を見てください。

単純梁の中央に集中荷重が作用しています。この状態の梁断面を見てみると圧縮と引張の力が断面一面に作用しています。これが曲げ応力度と言います。

曲げ応力度は三角形になっていて、断面の縁に行くほど引張、または圧縮の力が強くなってきます。そして圧縮と引張の力が0のところを中立軸と言います。

この曲げ応力度も引張と圧縮があって、同じ式で計算できます。

曲げ応力度(圧縮・引張) σ = M/Z        M:曲げモーメント   Z:断面係数

ここで断面係数Zを使います。

断面係数 Z = bh(2)/6     b:幅   h:せい  ( )は乗数を示します。

せん断応力度は、1級建築士試験に出ないので省略します。

断面係数・応力度の問題

頂部Gに鉛直荷重Pと水平荷重2Qが作用する時、a-a部の垂直応力度が図-2に示されている。この時のPとQを求めてください。

片持ち柱と断面係数・応力度を使った問題です。

解く手順として

  1. 片持ち柱の応力算出
  2. 算出した応力を使って応力度の算出
  3. 図-2と算出した応力度を使って式を作りPとQについて計算する

片持ち柱の応力算出

まずは片持ち柱の応力を計算しましょう。わかり易く図を変換すると下図のようになります。ここでa-a部は支点の所になりますね。

まず鉛直荷重Pです。

これは柱に圧縮力が作用しているとわかりますね。つまり軸力N=P(圧縮力)となります。

次に水平荷重2Qです。

こちらは片持ち柱の先端に作用していますね。そしてa-a部までの距離がLですね。

曲げモーメントは力×キョリなので、M=2Q×L=2QLとなりますね。

そして片持ち柱の変形と曲げモーメント図は下図のようになります。

片持ち梁の解き方を知りたいあなたは、こちらをお読みください。

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算出した応力を使って応力度の算出

a-a部の軸力と曲げモーメントを算出しましたね。次はこの算出した応力を使って、応力度を計算していきます。

まずは軸応力度から計算します。

軸応力度 σ=N/A     N:軸力(圧縮、引張)  A:断面積

ここで軸力N = P   断面積 A = B × D = BD

ここで圧縮応力度をσcとします。

圧縮応力度 σc = P/BD

次に曲げ応力度の計算をします。

曲げ応力度 σ = M/Z        M:曲げモーメント   Z:断面係数

断面係数 Z = bh(2)/6     b:幅   h:せい  ( )は乗数を示します。

曲げモーメントM=2QLとなりますね。次に断面係数ですが、BとDのどっちが幅、またはせいになるでしょうか。

これは、力の作用する方向をせいとしてください。つまり幅b=B、せいh=Dとなります。

断面係数 Z =BD(2)/6

ここで曲げ応力度はσbとします。

曲げ応力度 σb = 2QL ÷ BD(2)/6 = 12QL/BD(2)

図-2と算出した応力度を使って式を作りPとQについて計算する

今までは問題を解く準備をしていきました。これから答えに向かって解いていきます。

まず図-2を見てください。鉛直荷重Pと水平荷重2Qが片持ち柱に作用した時のa-a部の垂直応力度分布となります。

ここで注目する所は、左端が0で右端が2σ(圧縮)となっています。ではなぜ左端の方が右端より圧縮力が小さいんでしょうか。

それは水平荷重2Qが作用すると、a-a部の左端に引張力、右端に圧縮力が作用するからなんです。単純梁に集中荷重が作用すると同じように圧縮力と引張力が生じますね。下図を見てください。

水平荷重2Qが作用すると図のような軸力が発生します。これは簡単にわかる方法があります。ブロックを一つ用意してください。それを押すとブロックの片側が浮きますね。

つまりブロックが浮くということは引張力が作用しているんですね。そして逆側には圧縮力が作用しています。

そして曲げと軸力の応力度を別々で図に書くと下図のようになります。圧縮側をマイナスとしています。

この図を見ると式を作れますね。

左端側

σb – σc = 0    ①式

右端側

-σb – σc = -2σ   ②式

この2式を連立方程式で解けば良いですね。

①式 + ②式 -2σc = -2σ

σc = σ    ③式

③式に準備段階で計算したσc = P/BDを代入すれば

P/BD = σ    →   P = BDσ

Pについては計算できました。次にQについて計算します。

①式 – ②式 2σb = 2σ

σb = σ    ④式

④式に準備段階で計算したσb = 12QL/BD(2)を代入すれば

12QL/BD(2) = σ    →  Q = BD(2)σ/12L

答えは、P = BDσ   Q = BD(2)σ/12L

ワンワン
ワンワン
鉛直荷重が作用する時の断面応力度、水平荷重が作用する時の断面応力度を図に描きながら問題を考えるとわかりやすいですよ。

「1級建築士試験 構造力学 断面係数・応力度の問題」まとめ

圧縮・引張応力度 σ = N/A     N:軸力(圧縮、引張)  A:断面積

曲げ応力度(圧縮・引張) σ = M/Z        M:曲げモーメント   Z:断面係数

力の作用する方向をせいhとする。

解く手順として

  1. 片持ち柱の応力算出
  2. 算出した応力を使って応力度の算出
  3. 図-2と算出した応力度を使って式を作りPとQについて計算する

断面の鉛直応力度と外力が作用した時の圧縮、引張を考えて式を作りましょう。応力度の絵を描いて問題を考えるとわかりやすいです。

ワンワン
ワンワン
断面係数と応力度の問題は難しいように思えるかもしれませんが、力がどのように断面に作用するかを理解し、解き方を身につけたら怖くありません!

その他の構造力学の問題を知りたいあなたは、こちらをお読みください。

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