こんにちは、ワンワンです。
今回は梁たわみ問題についてです。この問題もよく出る問題ですね。
この梁たわみ問題は、梁たわみの公式を覚えているかどうかで点数を取れる取れないの境目となります。まずは梁たわみ公式を覚えてください。
あとは色んな問題を解いていくだけです。この梁たわみ問題についてはこれだけで点数が取れます。
この記事では、
- 梁たわみの覚えるべき公式
- 梁たわみ問題
について1級建築士試験レベルの問題をワンワンが解説していきます。
その他の構造力学の問題をチェックしたいあなたは、こちらをお読みください。
この記事の目次
覚えるべき梁たわみ公式
下図に覚えるべき梁たわみ公式となります。
P：集中荷重
w：等分布荷重
L：梁スパン
E；ヤング係数
I：断面2次モーメント
梁たわみ問題では、ヤング係数Eと断面2次モーメントI、またはヤング係数Eを計算する必要のないものが出題されています。
ヤング係数はEと覚えてください。
断面2次モーメントIは計算できるようにしてください。
断面2次モーメントについてわからないあなたは、こちらをお読みください。
梁たわみに関する問題
No.1は、集中荷重Pa、Pbを受ける梁AとBのたわみδA、δBが等しい時、集中荷重PAとPBの比を求めよ。ただし梁A、Bは等質等価断面の弾性部材とする。
No.2は、片持ち梁A、Bに集中荷重Pが作用した時、たわみδA、δBが生じている。その時のδA/δBを求めよ。ただし梁A、Bは同一材質とする。
今回は2問の解説をしていきます。
No.1は、ヤング係数Eと断面2次モーメントIを計算する必要のない問題です。
No.2は、ヤング係数Eのみを計算する必要のない問題です。
No.1の問題解説
この問題は、梁Aと梁Bのたわみが等しい時の集中荷重PaとPbの比を出す問題ですね。
問題の解く手順として
- 梁A、梁Bのたわみを計算（梁たわみ公式を使って）
- 梁Aと梁Bのたわみが等しい条件を使って式を作る
- 作った式を計算してPaとPbの比率を算出する
①梁A、梁Bのたわみを計算（梁たわみ公式を使って）
まず使う梁たわみ公式ですが、片持ち梁の集中荷重なので
δ = PL(3)/3EI （ ）は乗数を示します。
単純梁の公式は、
δ = PL(3)/48EI （ ）は乗数を示します。
を使います。
梁たわみ公式に当てはめて、梁Aと梁Bのたわみを算出しましょう。梁AとBは等質等断面なので、ヤング係数Eと断面2次モーメントIは梁A、B共に同じ数値となります。
ここではヤング係数EはEと断面2次モーメントIはIとして計算します。
梁Aのたわみ
集中荷重PはPa、スパンLはLとなります。
δA = PaL(3)/3EI
梁Bのたわみ
集中荷重PはPb、スパンLは4Lとなります。
δB = Pb × 4L(3)/48EI = 64PbL(3)/48EI
②梁Aと梁Bのたわみが等しい条件を使って式を作る
ここで梁AのたわみδAと梁BのたわみδBが等しい条件で式を作れます。先ほど算出して梁たわみを使います。
δA = δB
PaL(3)/3EI = 64PbL(3)/48EI
③作った式を計算してPaとPbの比率を算出する
そして先ほど算出したδA = δBを使ってPaとPbの比率を算出します。
PaL(3)/3EI = 64PbL(3)/48EIのL(3)とEIは同じなので、この式の両側にEI/L(3)を掛けます。
Pa/3 = 64Pb/48
あとは数値部分を約分すると
Pa = 4Pb
答えは荷重比率となります。つまりPa：Pb＝という形になります。
答えはPa：Pb = 4：１となります。
比の問題で答えに悩まれる場合は、下図を見てください。
比は外×外、内×内でPa=4Pbとなります。つまり、Pbが内に来ているので、内にはPbの係数4が来ますね。逆にPaは外に来ているので、外にはPaの係数1が来ます。
No.2の問題解説
この問題はNo.1と似ていますが、断面2次モーメントIを計算しなければいけません。
解く手順としては、
- 梁A、梁Bの断面2次モーメントIの算出
- 梁A、梁Bのたわみを計算（たわみ公式を使って）
- δA/δBを算出
①梁A、梁Bの断面2次モーメントIの算出
断面2次モーメントIの公式は、
I = bh(3)/12 （ ）は乗数を示します。
となります。
梁Aの断面2次モーメントI
幅 b ＝ a 梁せい h = 2a
IA = bh(3)/12 = a × 2a(3)/12 = 8a(4)/12 = 2a(4)/3
梁Bの断面2次モーメントI
幅 b = a 梁せい h = a
IB = bh(3)/12 = a × a(3)/12 = a(4)/12
②梁A、梁Bのたわみを計算（梁たわみ公式を使って）
片持ち梁の集中荷重なので、
δ = PL(3)/3EI （ ）は乗数を示します。
を使います。
梁Aと梁Bは同一材質ということで、ヤング係数Eは同じとなります。ここではヤング係数EはEとします。
梁Aのたわみ
集中荷重PはP、スパンLはL、断面2次モーメントIA ＝ 2a(4)/3 となります。
δA ＝ PL(3) × 3 / 3EI × 2a(4) = PL(3)/2a(4)EI
梁Bのたわみ
集中荷重PはP、スパンLはL、断面2次モーメントIB ＝ a(4)/12 となります。
δB ＝ PL(3) × 12 / 3EI × a(4) = 4PL(3)/a(4)EI
③δA/δBの算出
あとはδA/δBの計算ですね。
δA = PL(3)/2a(4)EI δB = 4PL(3)/a(4)EI
δA/δB = PL(3)/2a(4)EI × a(4)EI/4PL(3) =1/8
答えは1/8となります。
「1級建築士試験 構造力学 梁たわみの問題」まとめ
まずはしっかりと梁たわみの公式を覚えましょう。
あとは色んな問題を解いて、公式の使い方をマスターしましょう。
その他の構造力学の問題をチェックしたいあなたは、こちらをお読みください。
